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In der kommutativen Algebra und der algebraischen Geometrie ist ein graduierter Ring eine Verallgemeinerung des Polynomrings in mehreren Veränderlichen. Er ist in der algebraischen Geometrie ein Mittel, projektive Varietäten zu beschreiben.

• Definition

• Eigenschaften

• Charakterisierung regulärer Ringe

• Beispiele

• Siehe auch

• Literatur

Ein graduierter Ring A ist ein Ring, der eine Darstellung als direkte Summe von abelschen Gruppen hat:

A = ⨁ ⨁ n ∈ ∈ N A n = A 0 ⊕ ⊕ A 1 ⊕ ⊕ A 2 ⊕ ⊕ ⋯ ⋯ {\displaystyle A=\bigoplus _{n\in \mathbb {N} }A_{n}=A_{0}\oplus A_{1}\oplus A_{2}\oplus \cdots }

sodass A i A j ⊆ ⊆ A i + j . {\displaystyle A_{i}A_{j}\subseteq A_{i+j}.}

Elemente von A j {\displaystyle A_{j}} werden homogene Elemente vom Grad j {\displaystyle j} genannt. Jedes Element eines graduierten Ringes kann eindeutig als Summe von homogenen Elementen geschrieben werden.

Ein Ideal I {\displaystyle I} wird homogen genannt, wenn:

I = ⨁ ⨁ n ∈ ∈ N ( I ∩ ∩ A n ) {\displaystyle I=\bigoplus _{n\in \mathbb {N} }(I\cap A_{n})}

Ist I {\displaystyle I} ein Ideal des Ringes R {\displaystyle R} , so kann der zum Ideal I {\displaystyle I} assoziierte Ring g r I ( R ) {\displaystyle \mathrm {gr} _{I}(R)} gebildet werden:

g r I ( R ) = ⨁ ⨁ n ∈ ∈ N I n / I n + 1 {\displaystyle \mathrm {gr} _{I}(R)=\bigoplus _{n\in \mathbb {N} }I^{n}/I^{n+1}}

• Ein Ideal ist genau dann homogen, wenn es von homogenen Elementen erzeugt werden kann.

• Die Summe, das Produkt, der Schnitt und das Radikal homogener Ideale ist wieder homogen.

• Ein homogenes Ideal I {\displaystyle I} ist genau dann prim, wenn für alle homogenen f , g ∈ ∈ R {\displaystyle f,g\in R} gilt:

f g ∈ ∈ I ⇔ ⇔ ( f ∈ ∈ I ∨ ∨ g ∈ ∈ I ) {\displaystyle fg\in I\ \Leftrightarrow (f\in I\lor g\in I)}

• Ist R {\displaystyle R} noethersch und I ⊂ ⊂ R {\displaystyle I\subset R} ein Ideal, dann ist auch g r I ( R ) {\displaystyle \mathrm {gr} _{I}(R)} noethersch.

Ist R {\displaystyle R} ein lokaler noetherscher Ring, m {\displaystyle m} sein maximales Ideal, k = R / m {\displaystyle k=R/m} und x 1 , … … x n {\displaystyle x_{1},\dots x_{n}} eine k {\displaystyle k} -Basis des Vektorraums m / m 2 {\displaystyle m/m^{2}} , so sind folgende Aussagen äquivalent:

(1) R {\displaystyle R} ist regulär.

(2) Der durch f : : X i ↦ ↦ x i {\displaystyle f\colon X_{i}\mapsto x_{i}} definierte Homomorphismus f : : k [ X 1 , … … , X n ] → → g r m ( R ) {\displaystyle f\colon k[X_{1},\dots ,X_{n}]\to \mathrm {gr} _{m}(R)} ist ein Isomorphismus von graduierten k {\displaystyle k} -Algebren.

• Wenn K {\displaystyle K} ein Körper ist, dann ist K [ X 1 , … … X n ] {\displaystyle K[X_{1},\dots X_{n}]} auf natürliche Weise ein graduierter Ring.

• Dieser Ring kann auch mit einer anderen Graduierung versehen werden:

Ist ( i 1 , … … , i n ) ∈ ∈ N n {\displaystyle (i_{1},\dots ,i_{n})\in \mathbb {N} ^{n}} , so ist A k {\displaystyle A_{k}} die Menge der quasihomogenen Polynome vom Grad k {\displaystyle k} : A k := ∑ ∑ α α 1 i 1 + ⋯ ⋯ + α α n i n = k s α α 1 , … … , α α n X i 1 … … X i n {\displaystyle A_{k}:=\sum _{\alpha _{1}i_{1}+\dots +\alpha _{n}i_{n}=k}s_{\alpha _{1},\dots ,\alpha _{n}}X^{i_{1}}\dots X^{i_{n}}}

• Hilbert-Samuel-Polynom

• Ernst Kunz: Einführung in die kommutative Algebra und algebraische Geometrie, Vieweg (1980), ISBN 3-528-07246-6

• Atiyah, Macdonald: Introduction to Commutative Algebra, Addison-Wesley (1969), ISBN 0-2010-0361-9

• Brüske, Ischebeck, Vogel: Kommutative Algebra, Bibliographisches Institut (1989), ISBN 978-3411140411

• Robin Hartshorne: Algebraic Geometry, Springer-Verlag, New York/Berlin/Heidelberg 1977, ISBN 3-540-90244-9